Bonjour, je dois démontrer que pour tout réel x positif: sin x < x On sait que -1 -> J'ai pensé d'abord à prouver l'affirmation sur [1;+infini[, car dans ce cas
Mathématiques
Commie423
Question
Bonjour,
je dois démontrer que pour tout réel x positif:
sin x < x
On sait que -1 -> J'ai pensé d'abord à prouver l'affirmation sur
[1;+infini[, car dans ce cas sin < x est vérifié.
Puis sur [0;1], mais là je bloque.
-> Sinon:
sin(x) < x
sin(x) - x < 0
J'ai fait plusieurs tentatives (dérivée, limite avec th des gendarmes), mais inutiles.
Merci de votre aide.
je dois démontrer que pour tout réel x positif:
sin x < x
On sait que -1 -> J'ai pensé d'abord à prouver l'affirmation sur
[1;+infini[, car dans ce cas sin < x est vérifié.
Puis sur [0;1], mais là je bloque.
-> Sinon:
sin(x) < x
sin(x) - x < 0
J'ai fait plusieurs tentatives (dérivée, limite avec th des gendarmes), mais inutiles.
Merci de votre aide.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Bonjour Commie423
"je dois démontrer que pour tout réel x positif: sin x < x"
Soit la fonction h définie sur [0 ; +oo[ par [tex]h(x) = x - \sin(x)[/tex]
[tex] h'(x)=1-\cos(x) [/tex]
Puisque pour tout x réel, nous avons [tex]\cos(x)\leq 1[/tex],
nous en déduisons que [tex]1-\cos(x)\geq 0[/tex], soit que [tex]h'(x)\geq 0[/tex]
D'où la fonction h est croissante sur [0 ; +oo[.
Par définition de croissance,
[tex]0\ \textless \ x\Longrightarrow h(0)\ \textless \ h(x)[/tex]
Or [tex]h(0)=0-\sin(0)=0[/tex]
D'où
[tex]0\ \textless \ x\Longrightarrow 0\ \textless \ h(x)\\\\0\ \textless \ x\Longrightarrow 0\ \textless \ x-\sin(x)\\\\\boxed{0\ \textless \ x\Longrightarrow \sin(x)\ \textless \ x}[/tex]