Bonjour à tous! J'ai un DM de maths à faire, je l'ai commencé, mais je bloque sur 2 questions. Afin de replacer les questions dans leur contexte, voici l'exerci

Bonjour Lema760

1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes les équations suivantes :
a) z² - 2z + 5 = 0

[tex]z^2 - 2z + 5 = 0\\\\\Delta'=1-5=-4\\\\\boxed{z_1=1-2i}\\\boxed{z_2=1+2i}[/tex]

b) z² - 2 (1 + √3) z + 5 + 2√3 = 0

[tex]z^2-2(1+\sqrt{3})z+5+2\sqrt{3}=0\\\\\Delta'=[-(1+\sqrt{3})]^2-(5+2\sqrt{3})\\\Delta'=1+2\sqrt{3}+3-5-2\sqrt{3}\\\Delta'=-1\ \textless \ 0\\\\\boxed{z_1=1+\sqrt{3}-i}\\\boxed{z_2=1+\sqrt{3}+i}[/tex]

2) On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (0 ; u , v) d’unité graphique 2 cm, les points A, B, C et D d’affixes respectives 1 + 2i, 1 + √3 + i, 1 + √3 – i et 1 – 2i notées zA, zB, zC et zD. 
a) Placer les points A, B, C et D et préciser la nature du quadrilatère ABCD.

Voir pièce jointe.
Le quadrilatère ABCD est un trapèze.

b) Vérifier que (zD – zB) / (zA – zB) = i√3.
Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (BD) ?

[tex]\dfrac{z_D-z_B}{z_A-z_B}=\dfrac{(1-2i)-(1+\sqrt{3}+i)}{(1+2i)-(1+\sqrt{3}+i)}\\\\\dfrac{z_D-z_B}{z_A-z_B}=\dfrac{-\sqrt{3}-3i}{-\sqrt{3}+i}\\\\\dfrac{z_D-z_B}{z_A-z_B}=\dfrac{(-\sqrt{3}-3i)(-\sqrt{3}-i)}{(-\sqrt{3}+i)(-\sqrt{3}-i)}\\\\\dfrac{z_D-z_B}{z_A-z_B}=\dfrac{3+i\sqrt{3}+3i\sqrt{3}-3}{3+1}}\\\\\dfrac{z_D-z_B}{z_A-z_B}=\dfrac{4i\sqrt{3}}{4}}\\\\\boxed{\dfrac{z_D-z_B}{z_A-z_B}=i\sqrt{3}}[/tex]

D'où [tex]\arg(\dfrac{z_{\overrightarrow{BD}}}{z_{\overrightarrow{BA}}})=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]

Par conséquent, les droites (AB) et (BD) sont perpendiculaires.

c) Prouver que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Ґ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Ґ.

Les droites (AB) et (BD) étant perpendiculaires, le triangle ABD est rectangle en B.
Il peut donc être inscrit dans un cercle dont un diamètre sera l'hypoténuse [AD].
Le centre de ce cercle sera alors le milieu de [AD], soit le point de coordonnées (1 ; 0)
Le rayon sera égal à la moitié de AD, soit (1/2) * 4, soit 2.

D'où l'équation du cercle [tex]\Gamma[/tex] est : [tex]\boxed{(x-1)^2+y^2=4}[/tex].

Vérifions que le point C appartient bien à [tex]\Gamma[/tex] en remplaçant x par 1+√3 et y par (-1).

[tex](1+\sqrt{3}-1)^2+(-1)^2=(\sqrt{3})^2+1^2=3+1=4.[/tex]

L'équation du cercle est donc vérifiée par les coordonnées du point C.

Par conséquent, 
les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Ґ ayant pour centre le point (1;0) et de rayon 2.

3) On considère l’équation :
z² - 2 (1 + 2 cos "téta") z + 5 + 4 cos "téta" = 0
où "téta" désigne un nombre réel quelconque.
a) Résoudre l’équation dans C.

[tex]z^2-2(1+2\cos\theta)z+5+4\cos\theta=0\\\\\Delta'=[-(1+2\cos\theta)]^2-(5+4\cos\theta)\\\Delta'=1+4\cos\theta+4\cos^2\theta-5-4\cos\theta\\\Delta'=4\cos^2\theta-4\\\Delta'=4(\cos^2\theta-1)\\\Delta'=-4\sin^2\theta\ \textless \ 0\\\\\boxed{z_1=(1+2\cos\theta)-i(2\sin\theta)}\\\boxed{z_2=(1+2\cos\theta)+i(2\sin\theta)}[/tex]

b) Monter que les points ayant pour affixe les solutions de l’équation appartiennent au cercle Ґ.

Dans l'équation du cercle remplaçons x par les parties réelles de z1 et z2 et remplaçons y par les parties imaginaires.

[tex](1+2\cos\theta-1)^2+(-2\sin\theta)^2=(2\cos\theta)^2+(-2\sin\theta)^2\\=4\cos^2\theta+4\sin^2\theta\\=4(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\=4\times1\\=4[/tex]
==> Ok pour z1

[tex](1+2\cos\theta-1)^2+(2\sin\theta)^2=(2\cos\theta)^2+(2\sin\theta)^2\\=4\cos^2\theta+4\sin^2\theta\\=4(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\=4\times1\\=4[/tex]
==> Ok pour z2

Par conséquent, 
les points ayant pour affixe les solutions de l’équation   [tex]z^2-2(1+2\cos\theta)z+5+4\cos\theta=0[/tex]  appartiennent au cercle Ґ.