Bonsoir!! Une récurrence à vérifier: Soit x un réel positif ou nul. Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, (1+x)^n ≥ 1 + nx Soient u_n = (1+

Bonsoir!! Une récurrence à vérifier:
Soit x un réel positif ou nul.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, (1+x)^n ≥ 1 + nx
Soient
u_n = (1+x)^n
v_n = 1 + nx
1°) Vrai pour un n quelconque?
Pour n = 0
(1+x)^n ≥ 1 + nx
(1+x)^0 ≥ 1 + 0x
(1+x)^0 ≥ 1
(1+x)^0 est bien égal à 1. Donc vrai pour u_0 et v_0.
2°) Vrai pour u_(n+1) et v_(n+1) ?
On suppose que pour un certain entier n :
(1+x)^n ≥ 1 + nx (hypothèse de récurrence)
On va montrer que :
un+1 ≥ vn+1
(1+x)^(n+1) ≥ 1 + (n+1) x
(1+x) (1+x)^n ≥ 1 + nx + x
(1+x) un ≥ vn + x
Or, on a prouvé que u_n ≥ v_n.
De plus, 1+x ≥ x
Donc u_(n+1) ≥ v_(n+1)
=> Mais là j'ai peur parce que je crois me souvenir que pour montrer quelque chose on n'était pas sensé partir de ce qu'on voulait démontrer... Comment faire ça proprement?
Merci