La suite (un) est telle que : u0 = 1 et pour tout n, Un+1 = 3Un −1. Commet calculer Un ?

Bonjour Ranyaelhassan

Considérons la suite [tex](v_n)[/tex] définie pour tout entier naturel n par [tex]v_n=u_n-\dfrac{1}{2}[/tex]

Montrons que cette suite [tex](v_n)[/tex] est géométrique.

[tex]\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{u_{n+1}-\frac{1}{2}}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{(3u_{n}-1)-\frac{1}{2}}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{3u_{n}-1-\frac{1}{2}}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{3u_{n}-\frac{3}{2}}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{3(u_{n}-\frac{1}{2})}{u_{n}-\frac{1}{2}}\\\\\boxed{\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=3=constante}[/tex]

Puisque ce quotient est un nombre réel constant, la suite [tex](v_n)[/tex] est géométrique de raison égale à 3 et donc le premier terme est [tex]v_0=u_0-\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}[/tex]

D'où 
[tex]v_n=v_0\times3^n\\\\v_n=\dfrac{1}{2}\times3^n\\\\u_n-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\times3^n\\\\u_n=\dfrac{1}{2}\times3^n+\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{u_n=\dfrac{1}{2}(3^n+1)}[/tex]