Soit G un groupe abélien d'ordre pq où p et q sont des nombres premiers distincts. Démontrer que G est cyclique.

Soit (G,*) un groupe abélien d'ordre pq avec p et q premiers distincts
Alors il existe dans G au moins un élément x d'ordre p et au moins un élément y d'ordre q
donc xy est d'ordre pq = Card(G)
En effet, d=o(xy) divise pq ;
Réciproquement, y^d = x^(-d)
donc y^(dp)=e ,
donc q divise dp ; donc q divise d
de même, p divise d , donc pq divise d
finalement d=pq
conclusion :  G est cyclique d'ordre d, engendré par xy