Bonjour Nous sommes plusieurs à chercher le problème suivant, alors autant vous en faire profiter Un cercle de rayon r est inscrit dans le quadrilatère ABCD. Il

Soit I le centre du cercle inscrit dans le quadrilatère ABCD
Soit R le point de tangence du cercle avec [BC]
Soit S le point de tangence du cercle avec [AD]
alors IR=IQ
donc (IC) est la bissectrice de l'angle RCQ
de même IP=IR
donc (IB) est la bissectrice de l'angle PBR
on a aussi :
 (IA) est la bissectrice de l'angle PAS
 (ID) est la bissectrice de l'angle SDQ
donc AS=AP=19 ; SD=DQ=23 ; BR=BP=26 ; CR=CQ=37
donc AB= 45, AD = 42, DC = 60, BC = 63

alors le demi périmètre de ABCD est : p=105
d'après la formule de Brahmagupta, l'aire de ABCD vaut :
A=√((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))
  =√((105-45)(105-42)(105-60)(105-63))
  =√7144200
  =1890√2

Posons maintenant A(1), A(2), A(3) et A(4) les aires des quadrilatères respectifs CRIQ, DQIS, SIPA et PBRI on a alors :
le demi périmètre de CRIQ vaut 37+r
donc A(1)=√(((37+r)-r)((37+r)-r)((37+r)-37)((37+r)-37))
             =√(37.37.r.r)
             =37r
de même : A(2)=23r ; A(3)=19r et A(4)=26r

ainsi A=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)
donc 1890√2=37r+23r+19r+26r
donc 105r=1890√2
donc r=18√2