Bonjour, je suis en 1ere S et j'ai un DM avec un exercice qui me bloque...faut que je fasse l'étude d'une fonction qui est : f(x)=(sinx+cosx)/sin2x , on me dema

Bonjour  Manu729

1) La courbe représentative de la fonction f admet la droite d'équation x = pi/4 comme axe de symétrie si pour tout réel x tel que (pi/4+x) et (pi/4-x) appartiennent à l'ensemble de définition de f, nous avons la relation [tex]f(\dfrac{\pi}{4}-x) = f(\dfrac{\pi}{4}+x)[/tex]

D'une part, nous avons :
[tex]f(\dfrac{\pi}{4}-x)=\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{4}-x)+\cos(\dfrac{\pi}{4}-x)}{\sin[2(\dfrac{\pi}{4}-x)]}\\\\=\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{4})\cos(x)-\sin(x)\cos(\dfrac{\pi}{4})+\cos(\dfrac{\pi}{4})\cos(x)+\sin(\dfrac{\pi}{4})\sin(x)}{\sin(\dfrac{\pi}{2}-2x)}\\\\=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\sin(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)}{\cos(2x)}\\\\\boxed{f(\dfrac{\pi}{4}-x)=\dfrac{\sqrt{2}\cos(x)}{\cos(2x)}}[/tex]

D'autre part, nous avons : 
[tex]f(\dfrac{\pi}{4}+x)=\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{4}+x)+\cos(\dfrac{\pi}{4}+x)}{\sin[2(\dfrac{\pi}{4}+x)]}\\\\=\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{4})\cos(x)+\sin(x)\cos(\dfrac{\pi}{4})+\cos(\dfrac{\pi}{4})\cos(x)-\sin(\dfrac{\pi}{4})\sin(x)}{\sin(\dfrac{\pi}{2}+2x)}\\\\=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)+\sin(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)}{\cos(2x)}\\\\\boxed{f(\dfrac{\pi}{4}+x)=\dfrac{\sqrt{2}\cos(x)}{\cos(2x)}}[/tex]

D'où  [tex]f(\dfrac{\pi}{4}-x)=f(\dfrac{\pi}{4}+x)[/tex].

Par conséquent,
la courbe représentative de la fonction f admet la droite d'équation [tex]x = \dfrac{\pi}{4}[/tex] comme axe de symétrie.

2) La courbe représentative de la fonction f admet le point A(a ; b) comme centre de symétrie si pour tout réel x tel que (a+x) et (a-x) appartiennent à l'ensemble de définition de f, nous avons la relation : f(a-x)+f(a+x) = 2b.

Montrons que le point A(-pi/4 ; 0) est un centre de symétrie.

D'une part, nous avons :
[tex]f(-\dfrac{\pi}{4}-x)=\dfrac{\sin(-\dfrac{\pi}{4}-x)+\cos(-\dfrac{\pi}{4}-x)}{\sin[2(-\dfrac{\pi}{4}-x)]}\\\\=\dfrac{\sin(-\dfrac{\pi}{4})\cos(x)-\sin(x)\cos(-\dfrac{\pi}{4})+\cos(-\dfrac{\pi}{4})\cos(x)+\sin(-\dfrac{\pi}{4})\sin(x)}{\sin(-\dfrac{\pi}{2}-2x)}\\\\=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\sin(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)}{-\cos(2x)}[/tex]

[tex]\\\\f(-\dfrac{\pi}{4}-x)=\dfrac{-\sqrt{2}\sin(x)}{-\cos(2x)}\\\\\boxed{f(-\dfrac{\pi}{4}-x)=\dfrac{\sqrt{2}\sin(x)}{\cos(2x)}}[/tex]

D'autre part, nous avons :
[tex]f(-\dfrac{\pi}{4}+x)=\dfrac{\sin(-\dfrac{\pi}{4}+x)+\cos(-\dfrac{\pi}{4}+x)}{\sin[2(-\dfrac{\pi}{4}+x)]}\\\\=\dfrac{\sin(-\dfrac{\pi}{4})\cos(x)+\sin(x)\cos(-\dfrac{\pi}{4})+\cos(-\dfrac{\pi}{4})\cos(x)-\sin(-\dfrac{\pi}{4})\sin(x)}{\sin(-\dfrac{\pi}{2}+2x)}\\\\=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)+\sin(x)\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)}{-\cos(2x)}[/tex]

[tex]\\\\f(-\dfrac{\pi}{4}+x)=\dfrac{\sqrt{2}\sin(x)}{-\cos(2x)}\\\\\boxed{f(-\dfrac{\pi}{4}+x)=-\dfrac{\sqrt{2}\sin(x)}{\cos(2x)}}[/tex]

D'où [tex]f(-\dfrac{\pi}{4}-x)+f(-\dfrac{\pi}{4}+x)=\dfrac{\sqrt{2}\sin(x)}{\cos(2x)}-\dfrac{\sqrt{2}\sin(x)}{\cos(2x)}\\\\f(-\dfrac{\pi}{4}-x)+f(-\dfrac{\pi}{4}+x)=0[/tex]

Par conséquent,
la courbe représentative de la fonction f admet le point  [tex]A(-\dfrac{\pi}{4}\ ;\ 0)[/tex] comme centre de symétrie.

La fonction étant 2pi-périodique, la courbe représentative de la fonction f admet le point  [tex]B(-\dfrac{\pi}{4}+2\pi\ ;\ 0)[/tex] comme centre de symétrie, soit le point [tex]B(\dfrac{7\pi}{4}\ ;\ 0)[/tex]

Remarque : Comme le demande l'énoncé, nous avons bien :
 [tex]\boxed{-\dfrac{\pi}{4}\in]-\pi;\dfrac{5\pi}{2}[}\ \ et\ \ \boxed{\dfrac{7\pi}{4}\in]-\pi;\dfrac{5\pi}{2}[}[/tex]