Bonjour voilà un petit problème auquel je suis confronté, et c'est bien la seul et unique question qui me bloque sur mon DM de MATHS. z = 2e^(i7pi/12) = 2(cos(7

Bonjour Kemi433

Soit [tex]z_1=1-i[/tex] et  [tex]z_2=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i[/tex]

Alors 

[tex]z_1=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\ \ et\ \ z_2=e^{i\frac{5\pi}{6}[/tex]

D'où
[tex]z_1\times z_2= \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\times e^{i\frac{5\pi}{6}}\\\\z_1\times z_2= \sqrt{2}e^{i(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5\pi}{6})}\\\\z_1\times z_2= \sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{12}}\\\\z_1\times z_2= \sqrt{2}[\cos(\dfrac{7\pi}{12})+i\sin(\dfrac{7\pi}{12})]\\\\z_1\times z_2= \sqrt{2}\cos(\dfrac{7\pi}{12})+i\sqrt{2}\sin(\dfrac{7\pi}{12})[/tex]
Or  
[tex]z_1\times z_2=(1-i)(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)\\\\z_1\times z_2=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\\\\z_1\times z_2=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}i[/tex]

Par identification des résultats de [tex]z_1\times z_2[/tex], nous en déduisons que :

[tex] \sqrt{2}\cos(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow }\cos(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}\\\\\Longrightarrow }\boxed{\cos(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}\\\\\\ \sqrt{2}\sin(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow }\sin(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}\\\\\Longrightarrow }\boxed{\sin(\dfrac{7\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}[/tex]