bonjour Je dois calculer racine(3+ racine (3 + racine(3 + racine ...... mais je ne sais pas comment faire. J'aurais donc besoin de quelques indications. Merci d

Bonjour Nsubuga606

Soit la suite [tex](u_n)_{n\in\mathbb{Z}}[/tex] définie par [tex]u_0=\sqrt{3}[/tex]  et  [tex]u_{n+1}=\sqrt{3+u_n}[/tex]

Montrons par récurrence que cette suite est croissante.

Initialisation : 
[tex]u_0\ \textless \ u_1[/tex]
En effet :
[tex]\ u_0=\sqrt{3}\ et\ u_1=\sqrt{3+\sqrt{3}}\\\\3\ \textless \ 3+\sqrt{3}\Longrightarrow\sqrt{3}\ \textless \ \sqrt{3+\sqrt{3}}[/tex]

Hérédité :
Si pour tout n,  [tex]u_n\ \textless \ u_{n+1}[/tex], alors montrons que [tex]u_{n+1}\ \textless \ u_{n+2}[/tex]

En effet :
[tex]u_{n+2}=\sqrt{3+u_{n+1}}\ \textgreater \ \sqrt{3+u_{n}}\ \ car\ u_{n+1}\ \textgreater \ u_{n}\\\\u_{n+2}=\sqrt{3+u_{n+1}}\ \textgreater \ \sqrt{3+u_{n}}=u_{n+1}[/tex]
D'où  [tex]u_{n+1}\ \textless \ u_{n+2}[/tex]

L'initialisation et l'hérédité étant démontrées, la suite [tex](u_n)_{n\in\mathbb{Z}}[/tex]  est croissante.

Montrons que cette suite est bornée supérieurement par 3.

Initialisation :
[tex]u_0\ \textless \ 3\ car\ \sqrt{3}\approx1,7\ \textless \ 3 [/tex]

Hérédité :
Pour tout n,  si [tex]u_n\ \textless \ 3[/tex],  alors montrons que [tex]u_{n+1}\ \textless \ 3[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}=\sqrt{3+u_n}\ \textless \ \sqrt{3+3}\ car\ u_n\ \textless \ 3\\\\u_{n+1}\ \textless \ \sqrt{6}\ \textless \ \sqrt{9}\\\\u_{n+1}\ \textless \ 3[/tex]

L'initialisation et l'hérédité étant démontrées, la suite [tex](u_n)_{n\in\mathbb{Z}}[/tex]  est bornée supérieurement par 3.

D'où la suite  [tex](u_n)[/tex] est croissante et bornée.
Elle est convergente et admet une limite notée [tex]u[/tex]

Nous avons ainsi : 

[tex]u=\sqrt{3+u}\\\\u^2=3+u\\u^2-u-3=0\\\Delta =1+12=13\ \textgreater \ 0\\\\u=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\ \ ou\ \ u=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}[/tex]

Sachant que u>0, la valeur [tex]\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}[/tex] est à rejeter.

D'où [tex]\lim_{n\to+\infty}\ u_n=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}[/tex]

Par conséquent, 

[tex]\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}}=\lim_{n\to+\infty}\ u_n\\\\\\\boxed{\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}}=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}}[/tex]