Mathématiques

Question

Bonjour,
voilà, j'ai quelques difficultés à faire cette exercice, j'y ai bien réfléchi 2 heures mais l'inspiration ne me vient pas.
Situation : On considère un pentagone régulier direct ABCDE de centre O.
Comment montrer que les sommes vectorielles OB + OE et OC + OD sont des vecteurs colinéaires à OA ? (il manque les flèches sur les vecteurs, je ne sais pas comment les mettre). De même comment montrer que les sommes vectorielles OA + OC et OD + OE sont des vecteurs colinéaires à OB ?
Ensuite je dois en déduire que la somme vectorielle OA + OB + OC + OD + OE = 0
Si vous pouviez me donner une petite piste pour cette exercice, en vous remerciant d'avance.
Merci

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1 Réponse

  • On considère un pentagone régulier direct ABCDE de centre O.
    soit G le milieu de [BE]
    or OCD est isocèle et A est équidistant de B et E
    donc (AG) est un axe de symétrie de [BE]
    donc O,A,G sont alignés
    donc OG et OA sont colinéaires
    or OB+OE=k.OG
    donc OB+OE et OA sont colinéaires

    de même soit F le milieu de [CD]
    or OCD est isocèle et A est équidistant de C et D
    donc (AF) est un axe de symétrie de [CD]
    donc A,O,F sont alignés
    donc OF et OA sont colinéaires
    or OC+OD=k'.OF
    donc OC+OD et OA sont colinéaires

    de la même façon on montre que     les sommes vectorielles OA + OC et OD + OE sont des vecteurs colinéaires à OB

    ainsi OA+OB+OC+OD+OE
    =OA+(OC+OD)+(OB+OE)
    =OA+k.OA+k'.OA
    =(1+k+k').OA
    on sait que k=√3/2 et k'=-1-√3/2
    donc     OA+OB+OC+OD+OE=(1+√3/2-1-√3/2).OA
    donc OA+OB+OC+OD+OE=0


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