Bonjour. Je suis en classe de Terminale S et un devoir approche à grand pas sur les nombres complexes. J'essaye en vain de faire un exercice de préparation noté
Mathématiques
Chinan477
Question
Bonjour.
Je suis en classe de Terminale S et un devoir approche à grand pas sur les nombres complexes.
J'essaye en vain de faire un exercice de préparation "noté"
Voici l'énoncé.
Soit p(z) = z3 - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i
* Démontrer que p admet une seule racine imaginaire pure z0 que l'on calculera.
* Déterminer deux nombres réels b et c tels que :
p(z) = (z-z0)(z²+bz+c)
* Résoudre dans C : p(z) = 0
Si vous pouviez m'éclairer.
Merci d'avance.
Julien
Je suis en classe de Terminale S et un devoir approche à grand pas sur les nombres complexes.
J'essaye en vain de faire un exercice de préparation "noté"
Voici l'énoncé.
Soit p(z) = z3 - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i
* Démontrer que p admet une seule racine imaginaire pure z0 que l'on calculera.
* Déterminer deux nombres réels b et c tels que :
p(z) = (z-z0)(z²+bz+c)
* Résoudre dans C : p(z) = 0
Si vous pouviez m'éclairer.
Merci d'avance.
Julien
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Soit p(z) = z³ - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i
* Démontrer que p admet une seule racine imaginaire pure z0 que l'on calculera.
p(i)=i³ - (2+i)i² + (2+2i)i - 2i
=-i+(2+i)+2i-2-2i
=0
donc z0=i est solution de p(z)=0
* Déterminer deux nombres réels b et c tels que :
p(z) = (z-z0)(z²+bz+c)
p(z)=(z-i)(z²+bz+c)=z³ - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i
donc z³+bz²+cz-iz²-ibz-ic=z³ - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i
donc on déduit
{b-i=-2-i
{c-ib=2+2i
{-ic=-2i
donc b=-2 et c=2
donc p(z)=(z-i)(z²-2z+2)
* Résoudre dans C : p(z) = 0
p(z)=0 donne (z-i)(z²-2z+2)=0
donc z-i=0 ou z²-2z+2=0
donc z=i ou z=1-i ou z=1+i