Bonjour, je suis bloquée sur un exo qu'on m'a donné pour demain, c'est pour cela que je sollicite votre aide pour m'aider à résoudre ce problème, me donner une
Mathématiques
Mulumba42
Question
Bonjour, je suis bloquée sur un exo qu'on m'a donné pour demain, c'est pour cela que je sollicite votre aide pour m'aider à résoudre ce problème, me donner une direction à suivre.
On appelle x l'une des dimensions d'un rectangle de périmètre p fixé (x et p en cm).
1°) On note A(x) l'aide, en cm², d'un tel rectangle.
Démontrer que :
A(x)= p²/16 - (x- p/4)² avec 0 < ou = à x < ou = à p/2
2°) Démontrer que, parmi les rectangles de périmètre p fixé, celui dont l'aide est maximale est un carré.
Alors pour le 1°) j'ai pensé à simplifier le calcul pour commencer,
A(x) = p²/16 - (x- p/4)²
= p²/4² - (x² - p²/16)
= p²/4² - x² + p²/4²
= 2p²/4² - x²
Et voilà je suis bloquée & persuadée d'avoir faux.
Merci d'avance de votre aide.
On appelle x l'une des dimensions d'un rectangle de périmètre p fixé (x et p en cm).
1°) On note A(x) l'aide, en cm², d'un tel rectangle.
Démontrer que :
A(x)= p²/16 - (x- p/4)² avec 0 < ou = à x < ou = à p/2
2°) Démontrer que, parmi les rectangles de périmètre p fixé, celui dont l'aide est maximale est un carré.
Alors pour le 1°) j'ai pensé à simplifier le calcul pour commencer,
A(x) = p²/16 - (x- p/4)²
= p²/4² - (x² - p²/16)
= p²/4² - x² + p²/4²
= 2p²/4² - x²
Et voilà je suis bloquée & persuadée d'avoir faux.
Merci d'avance de votre aide.
1 Réponse
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1. Réponse anylor
bonsoir
je note* pour multiplier
périmètre du rectangle (L+l)*2
x et y sont les côtés du rectangle
p= (x+y)*2
2x+2y=p => y= p/2 -2x/2 => y= p/2 -x
on remplace y par sa valeur en fonction de x
aire = (p/2 – x)*x = xp/2 – x²
forme canonique ( voir cours)
a= -1
b= p/2
c = 0
alpha = -b/2a = - p/2 / -2 = p/4
bêta = A (alpha)
on remplace alpha dans la fonction aire
A(x) = p²/8 – p²/16 = 2p²/16 -p²/16 = p²/16
A(x)= a(x-alpha)² +bêta A(x) = - ( x -p/4)² + p²/16
autre méthode plus simple
tu développes A(x) = p²/16 - ( x -p/4)²
et tu trouves xp/2 – x²
A(x) = - ( x -p/4)² + p²/16
c' est la forme canonique de A(x)
c'est une parabole dont le sommet est ( alpha ; bêta)
A(x) admet un maximum car a est négatif (a =-1)
le sommet de la parabole est ( p/4 ; p²/16)
le sommet correspond au rectangle qui a la plus grande aire
une de ses dimensions = p/4
son aire = p²/16
on appelle y l'autre côté du rectangle
p/4 * y = p²/16 => y = p²/16 / (p/4)
=> y = 4p² / 16p => on simplifie par 4p
y = p/4
donc les deux côtés du rectangle sont égaux
x =y
donc c'est bien un carré qui a la plus grande aire