Mathématiques

Question

Bonjour à tous, je devais faire cette exercice pour aujourd'hui mais je n'ai rien compris. Mais aujourd hui je suis malde et je ne suis allé en cours
Ma classe la corrigé dans la journée et je vais avoir une interro sur ce genre d'exercice demain, j'aimerai, si possible, une correction complète pour que je m'entraine.
Exercice :
ABC est un triangle du plan, et A', B' et C' sont les centres respectifs des segments [BC], [CA] et [AB].
On défini le point D par l'égalité vextorielle AD = 1/3 AB
Montrer que (AA'), (B'C') et (CD) sont concourantes.
Aide : Utiliser le barycentre de (A;2), (B;1) et (C;1)
Merci d'avance

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1 Réponse

  • ABC est un triangle du plan, et A', B' et C' sont les centres respectifs des segments [BC], [CA] et [AB].
    On défini le point D par l'égalité vectorielle : AD = 1/3 AB
    soit G     le barycentre de (A;2), (B;1) et (C;1)
    or A' milieu de [BC]
    donc A' est le barycentre de (B,1) ; (C,1)
    donc par associativité du barycentre G est le barycentre de (A,2) ; (A',2)
    donc     G est le barycentre de (A,1) ; (A',1)
    donc GA+GA'=0
    donc GA=A'G
    donc les vecteurs sont colinéaires
    donc G,A,A' sont alignés

    de même G est     le barycentre de (A;2), (B;1) et (C;1)
    donc     G est le barycentre de (A;1), (A,1) (B;1) et (C;1)
    et     B' et C' sont les centres respectifs des segments [CA] et [AB].
    donc C' est le barycentre de (A,1) ; (B,1)
    et B' est le barycentre de (A,1) ; (C,1)
    donc G est le barycentre de (B',2) ; (C',2)
    donc     G est le barycentre de (B',1) ; (C',1)
    donc GB'+GC'=0
    donc GB'=C'G
    donc les vecteurs sont colinéaires
    donc C',G,B sont alignés

    enfin AD=1/3AB
    donc 3AD=AB
    donc     D est le barycentre de (A,2) ; (B,1)
    or     G le barycentre de (A;2), (B;1) et (C;1)
    donc par associativité du barycentre G est le barycentre de (D,3) ; (C,1)
    donc 3GD+GC=0
    donc 3GD=CG
    donc les vecteurs sont colinéaires
    donc G,D,C sont alignés

    en conséquence, les droites (CD) , (AA') et (B'C') sont concourantes en G

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