Bonjour, bonjour. Je suis en première S et j'ai un problème à résoudre pour mon exo. J'ai besoins d'aide Voici l'énoncer : La fonction cube est la fonction défi
Mathématiques
Nakisisa116
Question
Bonjour, bonjour.
Je suis en première S et j'ai un problème à résoudre pour mon exo.
J'ai besoins d'aide
Voici l'énoncer :
La fonction cube est la fonction définie sur R par : f(x) = x³
1.a) Tracer la courbe représentative de f à l'écran de la calculatrice ( sa je l'ai fait ! )
b) Conjecturer le sens de variation de f sur R
2.a) Démontrer que, pour tous nombres réels a et b : a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
b) Quel est le signe de a²+ab+b² si a et b sont de même signe ?
c) Déterminer le sens de variation de la fonction cube sur [0;+∞[ puis sur ]-∞;0]
3.a) Utiliser la calculatrice pour conjecturer la comparaison de x² et x³ suivant les valeurs du nombre réel x.
b) Démontrer les conjectures précédentes.
Je suis en première S et j'ai un problème à résoudre pour mon exo.
J'ai besoins d'aide
Voici l'énoncer :
La fonction cube est la fonction définie sur R par : f(x) = x³
1.a) Tracer la courbe représentative de f à l'écran de la calculatrice ( sa je l'ai fait ! )
b) Conjecturer le sens de variation de f sur R
2.a) Démontrer que, pour tous nombres réels a et b : a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
b) Quel est le signe de a²+ab+b² si a et b sont de même signe ?
c) Déterminer le sens de variation de la fonction cube sur [0;+∞[ puis sur ]-∞;0]
3.a) Utiliser la calculatrice pour conjecturer la comparaison de x² et x³ suivant les valeurs du nombre réel x.
b) Démontrer les conjectures précédentes.
1 Réponse
-
1. Réponse Anonyme
La fonction cube est la fonction définie sur R par : f(x) = x³
conjecture :
f est strict croissante sur IR
preuve :
pour tout a , b ∈ IR,
(a-b)(a²+ab+b²)=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³=a³-b³
si a>0 et b>0 alors a²+ab+b²>0
si a<0 et b<0 alors a²+ab+b²>0
donc f(a)-f(b)=a³-b³ a le même signe que a-b
ainsi sur ]-∞;0] ; a<b implique f(a)<f(b)
et sur [0;+∞[ ; a<b implique f(a)<f(b)
donc f est strict croissante sur IR
comparaison :
f(x)=x³ et g(x)=x²
f(x)-g(x)=x³-x²=x²(x-1)
pour tout x réel : x²≥0
sur ]-∞;0] : g(x)=x²≥0 et f(x)=x³≤0
donc f(x)≤g(x) sur ]-∞;0]
sur [0;+∞[ : f(x)-g(x) est du signe de x-1
donc si 0≤x≤1 alors f(x)≤g(x)
et si x≥1 alors f(x)≥g(x)