Bonjour, je suis nouveau et je viens avec un probléme sur mon exo . Voici l'enoncé : Démontrez que pour tout entier naturel n, l'entier 3^(2n)- 2^n est un multi

Bonjour Dembe561

Voici l'enoncé : Démontrez que pour tout entier naturel n, l'entier 3^(2n)- 2^n est un multiple de 7.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.

[tex]3^{2n}- 2^n=3^{0}- 2^0=1-1=0\\\\\boxed{3^{2n}- 2^n=0\times7}[/tex]

Donc 3^(2n)- 2^n est un multiple de 7 si n = 0

Hérédité : 

Supposons que la propriété est vraie au rang n (pour n quelconque) et montrons qu'elle est vraie au rang n+1. 

Supposons que [tex]3^{2n}- 2^n[/tex] est un multiple de 7 et montrons que [tex]3^{2(n+1)}- 2^{n+1}[/tex] est un multiple de 7.

Dire que [tex]3^{2n}- 2^n[/tex] est un multiple de 7 revient à dire qu'il existe une valeur entière k telle que [tex]3^{2n}- 2^n=7k[/tex]

[tex]3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=3^{2n+2}- 2^{n+1}\\\\3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=3^{2n}\times3^2- 2^{n}\times2^1\\\\3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=9\times3^{2n}-2\times 2^{n}\\\\3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=7\times3^{2n}+2\times3^{2n}-2\times 2^{n}\\\\3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=7\times3^{2n}+2\times(3^{2n}-2^{n})[/tex]

[tex]\\\\3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=7\times3^{2n}+2\times7k\\\\3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=7\times3^{2n}+7\times2k\\\\3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=7\times(3^{2n}+2k)\\\\\boxed{3^{2(n+1)}- 2^{n+1}=7k'}\ avec\ k'=3^{2n}+2k\in\mathbb{Z}[/tex]

Donc  [tex]3^{2(n+1)}- 2^{n+1}[/tex] est un multiple de 7.

L'initialisation et l'hérédité étant vraies, la propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.