Re-plop, Me voilà sur un exo de trigo: calculer cos(5x) en fonction de cos(x) je trouve (et ça marche): cos(5x)= 16cos5x - 20cos3x+5cos(x) (*) On demande ensuit
Mathématiques
Chilemba403
Question
Re-plop,
Me voilà sur un exo de trigo:
calculer cos(5x) en fonction de cos(x)
je trouve (et ça marche): cos(5x)= 16cos5x - 20cos3x+5cos(x) (*)
On demande ensuite de trouver cos(pi/5)...
ça fait donc grâce à (*):
cos(pi)= 16cos5(pi*5) - 20cos3(pi*5)+5cos(pi*5)
Mais maintenant pour extraire un cos(pi*5)...
à l'aide?
Me voilà sur un exo de trigo:
calculer cos(5x) en fonction de cos(x)
je trouve (et ça marche): cos(5x)= 16cos5x - 20cos3x+5cos(x) (*)
On demande ensuite de trouver cos(pi/5)...
ça fait donc grâce à (*):
cos(pi)= 16cos5(pi*5) - 20cos3(pi*5)+5cos(pi*5)
Mais maintenant pour extraire un cos(pi*5)...
à l'aide?
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
On utilise les formules d'Euler
cos(5x)=1/2(e^(5ix)+e^(-5ix))
de plus e^(5ix)=cos(5x)+i.sin(5x)
et e^(5ix)=(e^(ix))^5=(cos x+i. sin x)^5
donc cos(5x)=Re [ (cos x+i.sin x)^5 ]
or (a+b)^5=a^5+5a^4.b+10a^3.b^2+10a^2.b^3+5a.b^4+b^5
donc (cos x+i.sin x)^5
=16 i sin^5(x)-20 i sin^3(x)+5 i sin(x)+cos(x)+16 sin^4(x) cos(x)-12 sin^2(x) cos(x)
donc cos(5x)
=Re [ (cos x+i.sin x)^5 ]
=cos^5(x)-10 sin^2(x).cos^3(x)+5 sin^4(x).cos(x)