On considère la fonction f définie sur R+* par f(x) = x^x. 1. Déterminer le minimum de f. 2. Démontrer que pour tous réels x et y strictement positifs, on a x^y
Mathématiques
Anonyme
Question
On considère la fonction f définie sur R+* par f(x) = x^x.
1. Déterminer le minimum de f.
2. Démontrer que pour tous réels x et y strictement positifs, on a x^y +y^x >1.
1. Déterminer le minimum de f.
2. Démontrer que pour tous réels x et y strictement positifs, on a x^y +y^x >1.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
1. Déterminer le minimum de f.
f(x)=x^x=e^(x.ln(x))
donc f'(x)=(1.ln(x)+x/x).e^(x.ln(x))=(ln(x)+1).e^(x.ln(x))
f est décroissante sur ]0;1/e] et croissante sur [1/e;+∞[
donc f admet un minimum en x=1/e
ce minimum vaut : f(1/e)=e^(-1/e)
2. Démontrer que pour tous réels x et y strictement positifs, on a x^y +y^x >1.
soit x>0 et y>0
pour tout x et tout y : x^y=e^(y.ln(x)) et y^x=e^(x.ln(y))
or e^(x.ln(x))>e^(-1/e) et e^(y.ln(y))>e^(-1/e)
donc x.ln(x)>-1/e et y.ln(y)>-1/e
donc y.ln(x)>-y/(ex) et x.ln(y)>-x/(ey)
donc e^(y.ln(x)) >e^(-y/(ex)) et e^(x.ln(y))>e^(-x/(ey))
donc e^(y.ln(x))+e^(x.ln(y))>e^(-y/(ex))+e^(-x/(ey))
donc e^(y.ln(x))+e^(x.ln(y))>1/e^(y/(ex))+1/e^(x/(ey))
donc e^(y.ln(x))+e^(x.ln(y))>(1/e^(y/x))^(1/e)+(1/e^(x/y))^(1/e)
or pour tout x>0 et tout y>0 soit (1/e^(y/x))^(1/e) >1 soit (1/e^(x/y))^(1/e)>1
donc (1/e^(y/x))^(1/e)+(1/e^(x/y))^(1/e)>1
donc e^(y.ln(x))+e^(x.ln(y))>1
donc x^y+y^x>1