Trois vecteurs A,B,C forment un triangle sin alpha / A = sin Beta / B = sin Gamma / C Comment peut on le démontrer avec les produits vectoriels ou mixtes ?

Bonjour Manay972,

Notons les côtés du triangle par a, b, c
et les angles par [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] respectivement opposés aux côtés a, b et c.

On sait que l'aire du triangle est donnée par

[tex]S=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha\ \ ou\ \ S=\dfrac{1}{2}ac\sin\beta\ \ ou\ \ S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma[/tex]

Donc

[tex]\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha=\dfrac{1}{2}ac\sin\beta=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\\\\bc\sin\alpha=ac\sin\beta=ab\sin\gamma\\\\\dfrac{bc\sin\alpha}{abc}=\dfrac{ac\sin\beta}{abc}=\dfrac{ab\sin\gamma}{abc}\\\\\\\boxed{\dfrac{\sin\alpha}{a}=\dfrac{\sin\beta}{b}=\dfrac{\sin\gamma}{c}}[/tex]