bonjour démontrer par récurrence que pour tout entier naturel [tex]2 ^{3n} -1[/tex] est un multiple de 7 merci

Bonjour Taysmith06,

Initialisation :

Montrons que la propriété est vraie pour n = 0

[tex]2^{3n}-1=2^0-1\\2^{3n}-1=1-1\\2^{3n}-1=0\\\boxed{2^{3n}-1=0\times7}[/tex]

Donc [tex]2^{3n}-1[/tex] est un multiple de 7 pour n = 0

Hérédité : 

Supposons que la propriété est vraie au rang n (quel que soit l'entier naturel n) et démontrons cette propriété au rang n+1

Supposons que [tex]2^{3n}-1[/tex] est un multiple de 7 
Démontrons que [tex]2^{3(n+1)}-1[/tex] est un multiple de 7 

[tex]2^{3(n+1)}-1=2^{3n+3}-1\\2^{3(n+1)}-1=2^{3n}\times2^3-1\\2^{3(n+1)}-1=8\times2^{3n}-1\\2^{3(n+1)}-1=(7+1)\times2^{3n}-1\\2^{3(n+1)}-1=7\times2^{3n}+2^{3n}-1[/tex]

Or  [tex]7\times2^{3n}[/tex] est un multiple de 7 et  [tex]2^{3n}-1[/tex] est un multiple de 7 (par l'hypothèse de récurrence).

Donc [tex]7\times2^{3n}+(2^{3n}-1)[/tex] est un multiple de 7 (somme de deux multiples de 7)

D'où  [tex]2^{3(n+1)}-1[/tex] est un multiple de 7 

Puisque l’initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété "[tex]2^{3n}-1[/tex] est un multiple de 7 " est vraie pour tout entier naturel n.