Bonjour, voici un exercice que j'ai à faire : Les coûts de production en centaines d'euro d'une entreprise sont donnés par : c(x) = x^2+4x+95 où x est la quanti

Bonjour Adigun434

Les coûts de production en centaines d'euro d'une entreprise sont donnés par : 
c(x) = x^2+4x+95 où x est la quantité d'objets fabriqués.
Le prix de vente de chacun des objets fabriqués est de 28 euros.
1) Exprimer la recette en centaine d'euros correspondant à la vente de x d'objet.

La recette est définie par R(x) = 28x

2) Montrer que pour tout x le bénéfice s'exprime par B(x) = - x^2+24x-95

B(x) = R(x) - C(x)
B(x) = 28x - (x² + 4x + 95)
B(x) = 28x - x² - 4x - 95
B(x) = -x² + 24x - 95

3) Déterminer l'intervalle de production pour lequel l'entreprise réalise un bénéfice strictement positif. 

Résoudre l'inéquation  [tex]-x^2+24x-95\ \textgreater \ 0[/tex]

Racines de -x² + 24x - 95 : 
[tex]\Delta=24^2-4\times(-1)\times(-95)=576-380\\\Delta=196=14^2[/tex]

[tex]x_1=\dfrac{-24-14}{-2}=\dfrac{-38}{-2}=19 \\\\x_2=\dfrac{-24+14}{-2}=\dfrac{-10}{-2}=5[/tex]

Tableau de signe de B(x) = -x² + 24x - 95

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&5&&19&&+\infty \\ B(x)=-x^2+24x-95&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\B(x)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in]5;19[[/tex]

L'intervalle de production pour lequel l'entreprise réalise un bénéfice strictement positif est l'intervalle ]5 ; 19[.

4) Montrer que pour tout x B(x) = -(x-12)^2 + 49
En déduire le bénéfice maximal et pour quel nombre d'objets il est obtenu.

[tex]B(x)=-x^2+24x-95\\B(x)=-(x^2-24x+95)\\B(x)=-[(x^2-24x+114)-144+95]\\B(x)=-[(x-12)^2-49]\\\boxed{B(x)=-(x-12)^2+49}[/tex]

[tex]B(x)-49=-(x-12)^2\\B(x)-49\le0\\B(x)\le49[/tex]

D'où le maximum de B(x) est 49 et ce maximum est atteint pour x = 12.

Par conséquent, le bénéfice maximal sera de 4 900 €.
Il est obtenu pour 12 objets.