Aide moi svp a resoudre ces problemes. Exo I Soit (Un) et (Vn) deux suites respectivement arithmétique et Géométrique définies sur IN par : Un= 2n + 3 et

Bonjour Optimiste,

Exercice 1

La suite (Un) est définie par Un = 2n + 3 (n ∈ N).
Cette suite est arithmétique de premier terme U0 = 3 et de raison égale à 2.

Les premiers termes sont : 
U0 = 3  ;  U1 = 5  ;  U2 = 7  ;  U3 = 9

La suite (Vn) est définie par Vn = 3^n (n ∈ N).
Cette suite est géométrique de premier terme V0 = 1 et de raison égale à 3.

Les premiers termes sont : 
V0 = 1  ;  V1 = 3  ;  V2 = 9  ;  V3 = 27

Soit la suite (Wn) définie par Wn = Un + Vn (n ∈ N).
Les premiers termes de la suite sont :
W0 = U0 + V0 = 3 + 1 = 4 ==> W0 = 4
W1 = U1 + V1 =  5 + 3 = 8 ==> W1 = 8
W2 = U2 + V2 =  7 + 9 = 16 ==> W2 = 16
W3 = U3 + V3 =  9 + 27 = 36 ==> W3 = 36

La suite (Wn) est-elle arithmético-géométrique ?

Si la suite (Wn) est arithmético-géométrique, alors il existe deux nombres a et b tels que pour tout entier n,  [tex]w_{n+1} = aw_n + b [/tex]

Déterminons les valeurs de a et b.

Premier essai de calcul en exprimant W1 et W2.

[tex]\left\{\begin{matrix}w_1=aw_0+b\\w_2=aw_1+b\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}8=4a+b\\16=8a+b\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}8=4a+b\\16-8=(8a+b)-(4a+b)\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}8=4a+b\\8=8a+b-4a-b\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}8=4a+b\\8=4a\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}8=4a+b\\a=2\end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=2\\8=8+b\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=2\\b=0\end{matrix}\right.[/tex]

Nous obtenons ainsi : a = 2 et b = 0.

Second essai de calcul en exprimant W2 et W3.

[tex]\left\{\begin{matrix}w_2=aw_1+b\\w_3=aw_2+b\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}16=8a+b\\36=16a+b\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}16=8a+b\\36-16=(16a+b)-(8a+b)\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}16=8a+b\\20=16a+b-8a-b\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}16=8a+b\\20=8a\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}16=8a+b\\a=2,5\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=2,5\\16=20+b\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a=2,5\\b=-4\end{matrix}\right.[/tex]

Nous obtenons ainsi : a = 2,5 et b = -4.

Puisque nous obtenons deux valeurs différentes de a et deux valeurs différentes de b suivant les cas, il n'existe pas deux nombres a et b uniques tels que pour tout entier n,  [tex]w_{n+1} = aw_n + b [/tex]

Par conséquent, la suite (Wn) n'est pas arithmético-géométrique.

Exercice 2

a et b étant deux nombres réels quelconques, nous pouvons écrire : 
[tex](a-b)^2\ge0[/tex]  puisqu'un carré parfait n'est jamais négatif.

Développons (a-b)² par l'identité remarquable.

[tex](a-b)^2\ge0\\\\a^2-2ab+b^2\ge0\\\\a^2-2ab+b^2+2ab\ge0+2ab\\\\\boxed{a^2+b^2\ge2ab}[/tex]

Exercice 3

L’équation : 2x² + kx + 7 = 0 admettra une racine double si le discriminant  Δ de l'équation est égal à 0.

[tex]\Delta = k^2-4\times2\times7 = 0\\\\ k^2-56 = 0\\\\ k^2=56\\\\k=\sqrt{56}\ \ ou\ \ k=-\sqrt{56}\\\\k=\sqrt{4\times14}\ \ ou\ \ k=-\sqrt{4\times14}\\\\\boxed{k=2\sqrt{14}\ \ ou\ \ k=-2\sqrt{14}}[/tex]