Exo 1 Un groupe de biologistes étudie l'évolution d'une population d'oiseaux et constate que le nombre d'oiseaux diminue de 30% chaque année ( prédateurs, régul

Bonsoir Mulumba797

1) Démontrer que la suite (pn) est une suite géométrique décroissante.

[tex]p_{n+1}=p_n-0,30\times p_n\\p_{n+1}=(1-0,30)\times p_n\\\boxed{p_{n+1}=0,70\times p_n}[/tex]

D'où, la suite [tex](p_n)[/tex] est géométrique dont la raison est 0,7 et de premier terme  [tex]p_0=2000[/tex].

Cette suite est décroissante car [tex]p_0=2000\ \textgreater \ 0[/tex] et  [tex]0\ \textless \ 0,7\ \textless \ 1[/tex].

2) Pour tout entier naturel n, exprimer pn en fonction de n.

[tex]p_n=p_0\times 0,7^n\\\\\boxed{p_n=2000\times 0,7^n}[/tex]

3) Déterminer la limite de la suite (pn).

[tex]\boxed{ \lim_{n \to \infty} p_n =0}\ car\ 0\ \textless \ 0,7\ \textless \ 1[/tex]

4) On condidére que l'espèce étudiée a disparu lors qu'il ne reste qu'un seul individu de l’espèce, empêchant ainsi la reproduction.
Déterminer, a l'aide de la calculatrice, en quel année l'espèce étudiée aura disparu.

L'espèce d'oiseaux aura disparu quand [tex]2000\times0.7^n \ \textless \ 1[/tex]

[tex]0.7^n \ \textless \ \dfrac{1}{2000}\\\\0.7^n \ \textless \ 5\times10^{-4}[/tex]

Par un tableau donnant les valeur de n allant de 1 à 50, nous constatons que l'on  a : 

[tex]0.7^{21}\approx5,6\times10^{-4} \ \textgreater \ \ 5\times10^{-4}\\\\0.7^{22}\approx3,9\times10^{-4} \ \textless \ \ 5\times10^{-4}[/tex]

D'où la condition  [tex]0.7^n \ \textless \ 5\times10^{-4}[/tex] est respectée à partir de n = 22.

Par conséquent,
l'espèce étudiée aura disparu en 2032  (qui correspond à 2010 + 22)