Bonjour tout le monde! J'ai un exercice auquel je reste bloquée... Exercice I: on considère la suite (un) définie pour tout n appartenant à N par: u0=1 et u
Mathématiques
Obaseki529
Question
Bonjour tout le monde!
J'ai un exercice auquel je reste bloquée...
Exercice I: on considère la suite (un) définie pour tout n appartenant à N par:
u0=1 et un+1 = un/? (un²+1)
a)Démontrer que un>0 pour tout n appartenant à N
b) Démontrer que la suite(un) est décroissante.
Que peut-on en déduire ?
c) Montrer que pour tout n appartenant à N on a :
un=1/?(n+1)
d) En déduire la limite de la suite (un)
a)J'ai essayer de démontrer par récurrence:
Initialisation: u0=1 > 0 est vraie
Hérédité: Supposons que la propriété soit vrai pour un nombre réel n montrons alors
que un+1>0
un>0
un2 >0
un2+1 >1
? (un2+1) > 1
1/(? (un2+1)) < 1 (car la fonction inverse est décroissante)
un/(? (un2+1)) < un
un+1< un
je reste bloquée là..
j'ai donc essayé de faire comme ça :
un+1>0
une racine carrée est toujours positive donc un/(? (un2+1)>0/(? (un2+1) soit un/(? (un2+1)>0
et donc un+1>0
mais je ne sais pas si c'est acceptable
b) je voulais faire un+1-un mais ça marche pas
donc je vais utiliser les variations de f(x)
ou alors est-ce que le fait de dire que un+1< un comme je l'ai fait en a serait suffisant ?
c)la franchement je vois pas comment commencer..
d)A première vu je pense que la limite serait 0
Merci à ceux qui pourront m'aider
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Bonjour Obaseki529
Exercice I: on considère la suite (un) définie pour tout n appartenant à N par:
u0=1 et un+1 = un/√ (un²+1)
a)Démontrer que un>0 pour tout n appartenant à N
Démonstration par récurrence.
Initialisation:
[tex]u_0=1 \ \textgreater \ 0 [/tex]
La propriété est vraie pour n = 0
Hérédité : Supposons que pour tout nombre naturel n, la propriété est vraie à l'étape n.
Montrons que cette propriété est vraie à l'étape (n+1).
Supposons que [tex]u_n\ \textgreater \ 0[/tex]
Montrons que [tex]u_{n+1}\ \textgreater \ 0[/tex]
D'une part, [tex]u_n\ \textgreater \ 0[/tex]
D'autre part,
[tex](u_n)^2\ \textgreater \ 0\\(u_n)^2+1\ \textgreater \ 1\ \textgreater \ 0\Longrightarrow (u_n)^2+1\ \textgreater \ 0\\\\(u_n)^2+1\ \textgreater \ 0\Longrightarrow \sqrt{(u_n)^2+1}\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc
[tex]u_n\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ \sqrt{(u_n)^2+1}\ \textgreater \ 0\ \Longrightarrow\ \dfrac{u_n}{\sqrt{(u_n)^2+1}}\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow\ \boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ 0}[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant vraies, la proposition "un>0 pour tout n appartenant à N" est vraie.
b) Démontrer que la suite (un) est décroissante.
Que peut-on en déduire ?
Nous venons de montrer que tous les termes de la suite (un) sont positifs.
De plus,
[tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{u_n}{\sqrt{(u_n)^2+1}}}{u_n}\\\\\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{u_n}{\sqrt{(u_n)^2+1}}}{\dfrac{u_n}{1}}\\\\\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{u_n}{\sqrt{(u_n)^2+1}}\times\dfrac{1}{u_n}\\\\\\\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{\sqrt{(u_n)^2+1}}[/tex]
[tex]\\\\\\\boxed{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ \textless \ 1}\ \ (car\ \sqrt{(u_n)^2+1}\ \textgreater \ 1)[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est décroissante.
La suite (un) étant décroissante et bornée inférieurement par 0, cette suite (un) est convergente et admet une limite.
c) Montrer que pour tout n appartenant à N on a :
un=1/√(n+1)
Démonstration par récurrence.
Initialisation:
[tex]u_0=\dfrac{1}{\sqrt{0+1}}=\dfrac{1}{1}=1[/tex]
La propriété est vraie pour n = 0
Hérédité : Supposons que pour tout nombre naturel n, la propriété est vraie à l'étape n.
Montrons que cette propriété est vraie à l'étape (n+1).
Supposons que [tex]u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]
Montrons que [tex]u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}}[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{(u_n)^2+1}}\\\\\\u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}})^2+1}}\\\\\\u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\dfrac{1}{n+1}+1}}[/tex]
[tex]u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\dfrac{1+n+1}{n+1}}}\\\\u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\dfrac{n+2}{n+1}}}\\\\\\u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}}{\dfrac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}}[/tex]
[tex]u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}}[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant vraies, la proposition "pour tout n appartenant à N on a : un=1/√(n+1)" est vraie.
d) En déduire la limite de la suite (un)
[tex]\lim_{+\infty}\ \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim_{+\infty}\ u_n=0}[/tex]