f est une bijection de N dans N. Démontrer qu'il existe trois entiers naturels a, b et c tels que a < b < c et f(a)+f(c) = 2f(b)

Supposons par l'absurde que pour tout entier a,b,c tels que : a<b<c on ait :
f(a)+f(c)≠2f(b)
alors f(b)≠1/2(f(a)+f(c))
supposons f linéaire de IN dans IN
alors f(b)≠f(1/2.a+1/2.c)
donc f(b)-f(1/2.a+1/2.c)≠0
posons d=b-1/2(a+c)
alors on obtient : f(d)≠0 pour tout a,b,c entier
ainsi 0 n'a pas d'antécédent par f
donc f ne serait pas surjective !
D'où une contradiction puisque f est bijective de IN vers IN

ainsi, l'hypothèse de départ est fausse et il existe trois entiers naturels a, b et c tels que a < b < c et f(a)+f(c) = 2f(b)